|
- De student kan de beginselen van de functionaalanalyse deskundig en creatief hanteren, i.h.b.:
- Hilbert-ruimtes (inproduct, Cauchy-Schwarz ongelijkheid, norm, Cauchy-reeks, abstracte Fourier-ontwikkeling, de voorbeelden l^2 en L^2, directe som, tensorproduct);
- Begrensde en compacte operatoren op Hilbert-ruimtes (geadjungeerde operator, projecties, unitaire operatoren, partiele isometrieen, spoor-klasse, Hilbert-Schmidt klasse);
- Onbegrensde operatoren op Hilbert-ruimtes, met toepassingen op kwantumtheorie (i.h.b. de Stelling van Stone) en gewone lineaire differentiaalvergelijkingen (i.h.b. Sturm-Liouville problemen);
- Spectraaltheorie van begrensde en onbegrensde zelf-geadjungeerde operatoren op Hilbert-ruimtes;
- Banach-ruimtes, met als belangstrijkste voorbeelden L^p-ruimtes en de ruimte van begrensde operatoren op een Hilbert-ruimte, en als belangrijkste stellingen (in het Engels) Closed Graph, Open Mapping, en Banach-Steinhaus (i.e. Principe van Uniforme Begrensdheid), en als lemma achter deze stellingen het Baire Category Theorem.
Ten slotte wordt bij voldoende tijd een korte inleiding gegeven in duale ruimtes van Banach-ruimtes en de daarbij horende zwakke en zwak-ster topologie en de stellingen van Hahn-Banach en Banach-Alaoglu. |
 |
|
Dit college vormt een eerste kennismaking met de (lineaire) functionaalanalyse. Dit gebied van de wiskunde is tussen 1900 en 1930 ontstaan en kan op twee manieren worden gezien: als een generalisatie van lineaire algebra naar oneindig dimensies, en als de studie van (vector-) ruimten van functies (die typisch oneindig-dimensionaal zijn). Daarmee heeft het vak zowel een abstracte kant, waarin zeer algemene stellingen over topologische vector-ruimten en lineaire operatoren aan bod komen, en een concrete kant, waarin naar voorbeelden en toepassingen wordt gekeken.
De functionaalanalyse vormt bijvoorbeeld de wiskundige taal van de kwantummechanica (zoals de Calculus van Newton de wiskundige taal van de klassieke mechanica bleek te zijn), en om deze reden is dit college dan ook sterk aanbevolen voor (theoretisch) fysici en studenten in de dubbele bachelor W+N. Ook de moderne theorie van (lineaire) partiële differentiaalvergelijkingen berust grotendeels op de functionaalanalyse.
In dit college proberen we een evenwicht te vinden tussen abstract en concreet door vooral te kijken naar zogenaamde Hilbert-ruimten, die centraal staan in de meeste interessante toepassingen (zoals de kwantummechanica), en waarvan de abstracte theorie relatief eenvoudig (maar bijzonder fraai) is. Via Hilbert-ruimten maken we dan tevens kennis met de veel grotere klasse van Banach-ruimten. Op deze manier worden wiskundigen goed voorbereid op het mastervak "Functional Analysis" in de landelijke master wiskunde (waarin de abstractie overheerst) en zien fysici het correcte wiskundige formalisme voor hun vak.
Om de belangrijkste voorbeelden van Hilbert-ruimten (resp. Banach-ruimten) te kunnen bestuderen, namelijk de zgn. L^2-ruimten (resp. L^p-ruimten), wordt tevens een mini-cursus in de maat-theorie opgenomen. Voor een expliciete lijst van te behandelen onderwerpen zie de Leerdoelen.
|
 |
|
|
|
 Inlevervraagstukken en schriftelijk tentamen |
Analyse 1 en 2, Lineaire Algebra 1 t/m 4, Topologie |
Noodzakelijk: • Barbara D. MacCluer, Elementary Functional Analysis, Springer-Verlag, 2009 Aanbevolen voor (zelf)studie: • G. Pedersen, Analysis Now, Springer-Verlag • Peter Lax, Functional Analysis |
• 32 uur hoorcollege • 32 uur werkcollege • 104 uur zelfstudie Toelichting werkvormen: • 32 uur hoorcollege • 32 uur werkcollege |
| | Verplicht materiaalBoekBarbara D. MacCluer, Elementary Functional Analysis, Springer-Verlag, 2009 |
 |
| Aanbevolen materiaalBoekG. Pedersen, Analysis Now, Springer-Verlag |
 | BoekPeter Lax, Functional Analysis |
 |
| Werkvormen Cursusgebeurtenis 
 | Hoorcollege 
 | Werkcollege 
 | Zelfstudie 
 |
| Toetsen TentamenWeging |  | 1 |
Gelegenheden |  | Blok KW2, Blok KW3 |
 |
|
| |